Ta xác định được các số $a,b,c$ để đồ thị hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ đi qua điểm $(1;0)$ và có điểm cực trị $(-2;0)$. Tính giá trị của biểu thức $T=a^2+b^2+c^2$.

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=3x^2+2ax+b$.
Đồ thị đi qua $(1;0)$ và nhận $(-2;0)$ làm điểm cực trị nên:
$\{\begin{array}{l}y(1)=0\\ y(-2)=0\\ y^{\prime }(-2)=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}1+a+b+c=0\\ -8+4a-2b+c=0\\ 12-4a+b=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a+b+c=-1\\ 4a-2b+c=8\\ 4a-b=12\end{array}$.
Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất: $3a-3b=9⟺a-b=3⟺b=a-3$.
Thay vào phương trình thứ ba: $4a-(a-3)=12⟺3a=9⟺a=3$.
Từ đó $b=3-3=0$.
Thay vào phương trình thứ nhất: $c=-1-3-0=-4$.
Kiểm tra lại: $y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)$ đổi dấu khi qua $x=-2$, do đó $(-2;0)$ đúng là điểm cực trị.
Vậy $T=a^2+b^2+c^2=3^2+0^2+(-4{)}^2=9+0+16=25$.