Tam giác $ABC$ có $AB=3$, $BC=8$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Biết $\cos AMB=\frac{5\sqrt{13}}{26}$ và $AM>3$. Tính độ dài cạnh $AC$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABM: $BM=4$, đặt $AM=x$. Theo định lí cosin: $A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2-2\cdot AM\cdot BM\cdot \cos AMB$ nên $9=x^2+16-8x\cdot \frac{5\sqrt{13}}{26}$, tức $x^2-\frac{20\sqrt{13}}{13}x+7=0$. Giải được $x=\sqrt{13}$ hoặc $x=\frac{7\sqrt{13}}{13}\approx 1,93$. Vì $AM>3$ nên $AM=\sqrt{13}$.

Vì $\cos AMC=-\cos AMB=-\frac{5\sqrt{13}}{26}$, áp dụng định lí cosin trong tam giác $AMC$ với $MC=4$: $A{C}^2=A{M}^2+M{C}^2-2\cdot AM\cdot MC\cdot \cos AMC=13+16+8\sqrt{13}\cdot \frac{5\sqrt{13}}{26}=29+20=49$. Vậy $AC=7$.