Tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ có cạnh $3a$, diện tích $S_1$. Trên các cạnh $A_1{B}_1,B_1{C}_1,C_1{A}_1$ lần lượt lấy các điểm $A_2,B_2,C_2$ thỏa mãn $A_1{B}_1=3A_1{A}_2,B_1{C}_1=3B_1{B}_2,C_1{A}_1=3C_1{C}_2$ ta được tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ có diện tích $S_2$. Tiếp tục như thế ta được tam giác thứ ba $A_3{B}_3{C}_3$ có diện tích $S_3$. Tương tự như thế, ta được diện tích $S_4,S_5,\dots$. Giá trị $S=S_1+S_2+S_3+\cdots +S_{23}$ thuộc khoảng:

Tính tổng $S=1+3+3^2+\cdots +3^{2019}$.

Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất $0,5\%/\text{thaˊng}$ (lãi tính theo từng tháng và cộng dồn vào gốc). Kể từ lúc gửi sau mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi người đó rút 10 triệu đồng để chi tiêu (nếu tháng cuối cùng không đủ 10 triệu đồng thì rút hết). Hỏi trong bao lâu kể từ ngày gửi người đó rút hết tiền trong tài khoản? (Giả sử lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình người đó gửi).

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $a\sqrt{2}$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là

Câu 5. Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó. Một phân tử metan ${\text{CH}}_4$ được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện. Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết $\text{H}-\text{C}-\text{H}$ là góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen. Số đo góc liên kết này bằng $a^{\circ }$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông. Biết $SB=2AB$ và $\widehat{SBA}=120^{\circ }$. Gọi $E$ là chân đường phân giác trong góc $\widehat{SBA}$, biết $BE=a$. Góc giữa cạnh bên $SA$ với mặt đáy bằng $45^{\circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=2\sqrt{2}a$ và $SA\perp (ABC)$. Biết $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$, $\widehat{BAC}=150^{\circ }$. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng