Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=\frac{1}{2}$, công bội $q=-\frac{1}{2}$ với $|q|<1$. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1/2}{1-(-1/2)}=\frac{1/2}{3/2}=\frac{1}{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số thẻ chia hết cho 6 trong khoảng 1 đến 25 là {6, 12, 18, 24} nên $p_A=\frac{4}{25}$. Số thẻ chia hết cho 5 là {5, 10, 15, 20, 25} nên $p_B=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$. Không có thẻ nào chia hết cho cả 6 và 5 (30 vượt phạm vi). Xác suất Bình thắng ở lượt thứ $n$ (An phải rút hỏng ở tất cả các lượt trước): $$P=\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{21}{25}\cdot \frac{4}{5}\right)}^{n-1}\cdot \frac{21}{25}\cdot \frac{1}{5}=\frac{\frac{21}{125}}{1-\frac{84}{125}}=\frac{21/125}{41/125}=\frac{21}{41}\approx 0,5122.$$ Làm tròn đến hàng phần trăm: $0,51$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=-\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{1/4}{-1/2}=-\frac{1}{2}$, với $|q|<1$. Tổng là $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{-1/2}{1+1/2}=\frac{-1/2}{3/2}=-\frac{1}{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh tam giác đều $\Delta A_n{B}_n{C}_n$ là $x_n$. Ta có $A_{n+1}$ trên $A_n{B}_n$ với $A_n{A}_{n+1}=\frac{x_n}{3}$ nên $B_n{A}_{n+1}=\frac{2x_n}{3}$; $B_{n+1}$ trên $B_n{C}_n$ với $B_n{B}_{n+1}=\frac{x_n}{3}$. Trong tam giác $B_n{A}_{n+1}{B}_{n+1}$ có góc $\angle A_{n+1}{B}_n{B}_{n+1}=60^{\circ }$, áp dụng định lí cosin:
$$A_{n+1}{B}_{n+1}^2={\left(\frac{2x_n}{3}\right)}^2+{\left(\frac{x_n}{3}\right)}^2-2\cdot \frac{2x_n}{3}\cdot \frac{x_n}{3}\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{4x_n^2+x_n^2-2x_n^2}{9}=\frac{x_n^2}{3}.$$
Vậy $x_{n+1}=\frac{x_n}{\sqrt{3}}$, suyra diện tích $S_{n+1}=\frac{1}{3}{S}_n$. Do đó $(S_n)$ là cấp số nhân với số hạng đầu $S_1=9\sqrt{3}$ và công bội $q=\frac{1}{3}$.
$$S_1+S_2+\cdots =\frac{S_1}{1-q}=\frac{9\sqrt{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{27\sqrt{3}}{2}.$$
Vậy $a=27,b=3,c=2$ (phân số $\frac{27}{2}$ tối giản), nên $a+b+c=27+3+2=32$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông ban đầu cạnh 1, diện tích 1. Bước 1: tô tam giác vuông chiếm một nửa hình vuông, $S_1=\frac{1}{2}$. Tam giác vuông còn lại có diện tích $\frac{1}{2}$. Ở bước 2, hình vuông mới có 3 đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác vuông này: với tam giác vuông cân hai cạnh góc vuông bằng 1, ba trung điểm tạo thành hình vuông cạnh $\frac{1}{2}$, diện tích $\frac{1}{4}$. Lặp bước 1: tô nửa hình vuông này, $S_2=\frac{1}{8}$. Tiếp tục, mỗi lần phần tô màu bằng $\frac{1}{4}$ lần phần tô trước: $S_3=\frac{1}{32},\dots$ Tổng là cấp số nhân: $S=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\cdots =\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}\approx 0,67$.