Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác $ABC$ được gọi là *tam giác trung bình* của tam giác $ABC$. Ta xây dựng dãy các tam giác $A_1{B}_1{C}_1,A_2{B}_2{C}_2,A_3{B}_3{C}_3,\dots$ sao cho $A_1{B}_1{C}_1$ là một tam giác đều cạnh bằng $6$ và với mỗi số nguyên dương $n\ge 2$, tam giác $A_n{B}_n{C}_n$ là tam giác trung bình của tam giác $A_{n-1}{B}_{n-1}{C}_{n-1}$. Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $S_n$ tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $A_n{B}_n{C}_n$. Tổng $S=S_1+S_2+\cdots +S_n+\dots$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?