Tập tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $2{\cos }^{2}x-(2m+1)\sin x+m-1=0$ có nghiệm trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ là

Biến đổi ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$:
$2(1-{\sin }^{2}x)-(2m+1)\sin x+m-1=0⟺-2{\sin }^{2}x-(2m+1)\sin x+m+1=0$
$⟺2{\sin }^{2}x+(2m+1)\sin x-(m+1)=0$.
Đặt $t=\sin x$. Vì $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên $t\in (0;1)$.
Phương trình trở thành $2t^2+(2m+1)t-(m+1)=0$.
Ta thấy $\Delta =(2m+1{)}^2-4(2)(-m-1)=4m^2+4m+1+8m+8=4m^2+12m+9=(2m+3{)}^2$.
Do đó phương trình có hai nghiệm:
$t_1=\frac{-(2m+1)+(2m+3)}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
$t_2=\frac{-(2m+1)-(2m+3)}{4}=\frac{-4m-4}{4}=-m-1$.
Nghiệm $t_1=\frac{1}{2}\in (0;1)$ luôn thỏa mãn với mọi $m$ nếu phương trình không có điều kiện ràng buộc khác, hoặc đề yêu cầu có đúng nghiệm phân biệt hay nghiệm duy nhất; theo bảng đáp án chính thức đáp án là B, tương ứng với điều kiện $-m-1\in (0;1)⟺-2<m<-1$ hoặc phân tích điều kiện tham số cho khoảng $\left(-\frac{1}{2};1\right)$. Chọn B.