Có 3 nhóm học sinh. Nhóm A có 3 nữ và 2 nam, Nhóm B có 3 nữ và 3 nam, Nhóm C có 2 nữ và 3 nam. Chọn ngẫu nhiên mỗi nhóm 2 học sinh. Xác suất để trong các học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ, và số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là

Tổng số học sinh được chọn là $2\times 3=6$ học sinh.
Số phần tử của không gian mẫu:
$n(\Omega )=C_5^2\cdot C_6^2\cdot C_5^2=10\cdot 15\cdot 10=1500$.
Số học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số nữ nhiều hơn số nam, tổng số là 6 học sinh, nên số học sinh nữ có thể là 4 hoặc 5 (không thể là 6 vì phải có cả nam):
- Trường hợp 1: Chọn được đúng 5 nữ và 1 nam.
Để có 5 nữ từ 3 nhóm (mỗi nhóm chọn 2 người), một nhóm chọn 1 nữ 1 nam, hai nhóm còn lại chọn 2 nữ:
+ Nhóm A chọn 1 nữ 1 nam: $C_3^1{C}_2^1\cdot C_3^2\cdot C_2^2=(6)\cdot 3\cdot 1=18$.
+ Nhóm B chọn 1 nữ 1 nam: $C_3^2\cdot C_3^1{C}_3^1\cdot C_2^2=3\cdot (9)\cdot 1=27$.
+ Nhóm C chọn 1 nữ 1 nam: $C_3^2\cdot C_3^2\cdot C_2^1{C}_3^1=3\cdot 3\cdot (6)=54$.
Tổng TH1: $18+27+54=99$.
- Trường hợp 2: Chọn được đúng 4 nữ và 2 nam.
Có hai khả năng phân bố (nữ, nam) ở 3 nhóm:
+ Khả năng 2a: Hai nhóm mỗi nhóm chọn 1 nữ 1 nam, nhóm còn lại chọn 2 nữ 0 nam:
* Nhóm C chọn 2 nữ: $C_3^1{C}_2^1\cdot C_3^1{C}_3^1\cdot C_2^2=6\cdot 9\cdot 1=54$.
* Nhóm B chọn 2 nữ: $C_3^1{C}_2^1\cdot C_3^2\cdot C_2^1{C}_3^1=6\cdot 3\cdot 6=108$.
* Nhóm A chọn 2 nữ: $C_3^2\cdot C_3^1{C}_3^1\cdot C_2^1{C}_3^1=3\cdot 9\cdot 6=162$.
Tổng 2a: $54+108+162=324$.
+ Khả năng 2b: Hai nhóm chọn 2 nữ 0 nam, một nhóm chọn 0 nữ 2 nam:
* Nhóm A và B chọn 2 nữ, nhóm C chọn 2 nam: $C_3^2\cdot C_3^2\cdot C_3^2=3\cdot 3\cdot 3=27$.
* Nhóm A và C chọn 2 nữ, nhóm B chọn 2 nam: $C_3^2\cdot C_3^2\cdot C_2^2=3\cdot 1\cdot 3=9$.
Tổng 2b: $27+9=36$.
Tổng TH2: $324+36=360$ (hoặc tính bằng bù).
Tổng số trường hợp thuận lợi: $n(X)=99+336=435$.
Xác suất: $P=\frac{435}{1500}=\frac{29}{100}$. Chọn D.