Tích phân $${\int }_a^b(2x+1)\mathrm{d}x$$ có giá trị bằng

Vào ngày 8/3, từ một tấm bìa hình vuông cạnh $8(dm)$, An dùng các đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và $x=f(y)$ để vẽ hoa tặng mẹ, nhụy hoa được vẽ bằng đường tròn có tâm là tâm hình vuông và bán kính bằng $2(dm)$. Khi đặt trong hệ tọa độ $Oxy$ thì điểm $A(2;0)$ và đường cong $AB$ là một phần của đồ thị hàm đa thức bậc ba $y=f(x)=\frac{1}{2}{x}^3+a{x}^2+bx+c$. Biết rằng tỷ lệ phần tô đậm chiếm $\frac{3}{4}$ diện tích hình vuông. Tính $abc$.

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 150m, tốc độ của ô tô 54 km/h. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc và với tốc độ $V(t)=at+b$, $(a,b\in R;a>0)$ trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 5 giây và duy trì sự tăng tốc trong 6 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc

Cho $\underset{1}{\overset{2}{\int }}x\sqrt{x}dx=a\sqrt{2}-b,(a,b\in Q)$. Biểu thức $a-b$ bằng bao nhiêu?

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Tích phân ${\int }_a^{b}f(x)dx$ bằng

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $(C):f(x)=x^2-3x-4$ và trục hoành quay quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2-2x+m& \text{khi }x\ge 1\\ 1-4x& \text{khi }x<1\end{array}$ ($m$ là tham số thực) liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $f(x)$ có nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ là $F(x)$ thỏa mãn $F(-2)=-6$.