Tìm các giới hạn sau:
a. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x^2-x+7}{2x^3-1}$ b. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{2x^2+1}+x\right)$ c. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2-x+3}{x-4}$
d. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-4x}-x\right)$ e. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$ f. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-3x+2}+x\right)$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 71: Tính từng giới hạn.

a. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x^2-x+7}{2x^3-1}$: chia tử và mẫu cho $x^3$, ta được $\frac{\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{7}{x^3}}{2-\frac{1}{x^3}}\to \frac{0}{2}=0$.

b. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{2x^2+1}+x\right)$: với $x<0$ thì $\sqrt{2x^2+1}=-x\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}$, nên biểu thức bằng $x\left(1-\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}\right)$. Vì $1-\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}\to 1-\sqrt{2}<0$ và $x\to -\infty$ nên giới hạn bằng $+\infty$.

c. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2-x+3}{x-4}$: bậc tử lớn hơn bậc mẫu, chia cho $x$ ta được $\frac{3x-1+\frac{3}{x}}{1-\frac{4}{x}}\to +\infty$.

d. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-4x}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-4x}{\sqrt{x^2-4x}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-4}{\sqrt{1-\frac{4}{x}}+1}=\frac{-4}{2}=-2$.

e. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=0$.

f. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-3x+2}+x\right)$: với $x<0$, $\sqrt{x^2-3x+2}=-x\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}$, nên biểu thức bằng $x\left(1-\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}\right)$. Dùng khai triển $\sqrt{1+u}\approx 1+\frac{u}{2}$ với $u=-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\to 0$, ta có $1-\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}\approx \frac{3}{2x}$, do đó giới hạn bằng $\underset{x\to -\infty }{\lim }x\cdot \frac{3}{2x}=\frac{3}{2}$.

Vậy: a) $0$; b) $+\infty$; c) $+\infty$; d) $-2$; e) $0$; f) $\frac{3}{2}$.