Tìm các giới hạn sau:

a. $\lim \frac{n+1}{n^2-2}$.

b. $\lim \frac{3n^3-2n+5}{2n^2+5n-3}$.

c. $\lim \frac{3^n-4^n+5^n}{3^n+4^n-5^n}$.

d. $\lim \frac{1+3^n}{4+3^n}$.

e. $\lim \frac{n\sqrt{n}-1}{n+n\sqrt{n}}$.

f. $\lim \frac{\sqrt[3]{n^2}+2}{n+\sqrt{n}}$.

g. $\lim \left(\sqrt{4n^2+5n}-2n\right)$

h. $\lim \left(\sqrt{2n+1}-\sqrt{n}\right)$

i. $\lim \left[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\dots +\frac{1}{2^n}\right]$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 65: Tính từng giới hạn dãy số.

a. Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\lim \frac{n+1}{n^2-2}=\lim \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{2}{n^2}}=\frac{0+0}{1-0}=0$.

b. Bậc tử (3) lớn hơn bậc mẫu (2), chia cho $n^2$: $\frac{3n-\frac{2}{n}+\frac{5}{n^2}}{2+\frac{5}{n}-\frac{3}{n^2}}\to \frac{+\infty }{2}=+\infty$. Vậy giới hạn bằng $+\infty$.

c. Chia tử và mẫu cho $5^n$ (số hạng trội): $\lim \frac{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n-{\left(\frac{4}{5}\right)}^n+1}{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n+{\left(\frac{4}{5}\right)}^n-1}=\frac{0-0+1}{0+0-1}=-1$.

d. Chia tử và mẫu cho $3^n$: $\lim \frac{\frac{1}{3^n}+1}{\frac{4}{3^n}+1}=\frac{0+1}{0+1}=1$.

e. Chia tử và mẫu cho $n\sqrt{n}$: $\lim \frac{1-\frac{1}{n\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}+1}=\frac{1-0}{0+1}=1$.

f. Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{\frac{1}{\sqrt[3]{n}}+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}=\frac{0+0}{1+0}=0$.

g. Nhân với biểu thức liên hợp: $\sqrt{4n^2+5n}-2n=\frac{5n}{\sqrt{4n^2+5n}+2n}=\frac{5}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}+2}\to \frac{5}{2+2}=\frac{5}{4}$.

h. Nhân với biểu thức liên hợp: $\sqrt{2n+1}-\sqrt{n}=\frac{n+1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{n}}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n}}}\to \frac{1}{0}=+\infty$.

i. Tổng $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^n}=1+\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=2-\frac{1}{2^n}\to 2$ (cấp số nhân công bội $q=\frac{1}{2}$).