Cho hàm số $y=f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2-\sqrt{x+3}}{x^2-1}& x\ne 1\\ \frac{1}{8}& x=1\end{array}$
a). Tìm $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$. So sánh $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ và $f(1)$
b). Tìm $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)$. So sánh $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)$ và $f(-3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 75.

a) Với $x\to 1$ (và $x\ne 1$), ta có dạng vô định $\frac{0}{0}$ vì $2-\sqrt{1+3}=0$ và $1^2-1=0$. Nhân với liên hợp:
$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2-\sqrt{x+3}}{x^2-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(2-\sqrt{x+3})(2+\sqrt{x+3})}{(x^2-1)(2+\sqrt{x+3})}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4-(x+3)}{(x-1)(x+1)(2+\sqrt{x+3})}$$
$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-x}{(x-1)(x+1)(2+\sqrt{x+3})}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-1}{(x+1)(2+\sqrt{x+3})}=\frac{-1}{2\cdot 4}=-\frac{1}{8}.$$
So sánh: $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-\frac{1}{8}\ne \frac{1}{8}=f(1)$, tức giới hạn tại $x=1$ khác giá trị của hàm số tại đó (hàm số không liên tục tại $x=1$).

b) Khi $x\to (-3{)}^{+}$ thì $x\ne 1$ nên dùng biểu thức $\frac{2-\sqrt{x+3}}{x^2-1}$. Khi $x\to (-3{)}^{+}$: $\sqrt{x+3}\to 0^{+}$ nên tử số $\to 2$; mẫu số $x^2-1\to 9-1=8$. Vậy
$$\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$$
Vì $-3\ne 1$ nên $f(-3)=\frac{2-\sqrt{-3+3}}{(-3{)}^2-1}=\frac{2-0}{8}=\frac{1}{4}$.
So sánh: $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=\frac{1}{4}=f(-3)$, hai giá trị bằng nhau.