Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

$(I)$. $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}$ liên tục với mọi $x\ne 1$.

$(II)$. $f(x)=\sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

$(III)$. $f(x)=\frac{|x|}{x}$ liên tục tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
$(I)$ Sai: hàm $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}$ chỉ xác định khi $x\ge -1$ và $x\ne 1$, nên không liên tục với mọi $x\ne 1$ (với $x<-1$ hàm không xác định). Hàm chỉ liên tục trên tập xác định $[-1;1)\cup (1;+\infty )$.
$(II)$ Đúng: $\sin x$ là hàm sơ cấp, liên tục trên $\mathbb{R}$.
$(III)$ Đúng: trong lân cận của $x=1$ (không chứa $0$), $\frac{|x|}{x}=1$, nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=1=f(1)$; hàm liên tục tại $x=1$.
Vậy chỉ $(II)$ và $(III)$ đúng.