Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng và có tâm lần lượt là $O$ và $O^{\prime }$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm trên các cạnh $AE,BD$ sao cho $AM=\frac{1}{3}AE$, $BN=\frac{1}{3}BD$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ $\breve{0}000=\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AD}=\mathbf{d}$, $\overrightarrow{AE}=\mathbf{e}$ với gốc $A$. Khi đó $C=\mathbf{b}+\mathbf{d}$, $F=\mathbf{e}-\mathbf{b}$ (vì $ABEF$ là hình bình hành: $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}$... kiểm tra: $\overrightarrow{FE}=\mathbf{b}=\overrightarrow{AB}$, đúng). Tâm $O=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{d}}{2}$, $O^{\prime }=\frac{\mathbf{e}-\mathbf{b}}{2}$, nên $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}=\frac{\mathbf{e}-2\mathbf{b}-\mathbf{d}}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CF}$ với $\overrightarrow{CF}=\mathbf{e}-2\mathbf{b}-\mathbf{d}$. Vậy $O{O}^{\prime }\parallel CF$.

a) $CF$ đi qua $F\in (ADF)$ và $C\notin (ADF)$, nên $CF$ cắt $(ADF)$ tại $F$; do đó $O{O}^{\prime }$ (song song $CF$, không qua $F$) cũng cắt $(ADF)$, không song song. → Sai.

b) $CF$ đi qua $C\in (BCE)$ và $F\notin (BCE)$, nên $CF$ cắt $(BCE)$ tại $C$; suy ra $O{O}^{\prime }$ cắt $(BCE)$. → Đúng.

c) Theo giả thiết $BN=\frac{1}{3}BD$ nên $\frac{BN}{BD}=\frac{1}{3}\ne \frac{2}{3}$. → Sai.

d) $M=\frac{\mathbf{e}}{3}$, $N=\mathbf{b}+\frac{\mathbf{d}-\mathbf{b}}{3}=\frac{2\mathbf{b}+\mathbf{d}}{3}$, nên $\overrightarrow{MN}=\frac{2\mathbf{b}+\mathbf{d}-\mathbf{e}}{3}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{CF}$. Vậy $MN\parallel CF\subset (CDFE)$, và $M\notin (CDFE)$ (đường thẳng $AE$ chỉ cắt mặt phẳng $(CDFE)$ tại $E\ne M$). Do đó $MN\parallel (CDFE)$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$O{O}^{\prime }\parallel CF$ và $CF$ cắt $(ADF)$ tại $F$ (vì $F\in (ADF)$, $C\notin (ADF)$), nên $O{O}^{\prime }$ cắt $(ADF)$, không song song.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$O{O}^{\prime }\parallel CF$, $CF$ cắt $(BCE)$ tại $C$ (vì $F\notin (BCE)$), nên $O{O}^{\prime }$ cắt $(BCE)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Theo giả thiết $BN=\frac{1}{3}BD$ nên $\frac{BN}{BD}=\frac{1}{3}\ne \frac{2}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{CF}$ với $CF\subset (CDFE)$ và $M\notin (CDFE)$, nên $MN\parallel (CDFE)$.