Cho lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $I,K,G$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC,A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime },AC{C}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A$ gốc, $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}=(1,0,0)$, $\overrightarrow{AC}=\mathbf{c}=(0,1,0)$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\mathbf{v}=(0,0,1)$. Khi đó $I=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}=(1/3,1/3,0)$, $K=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{v}}{3}$, $G=\frac{\mathbf{c}+\mathbf{v}}{3}=(0,1/3,1/3)$.
a) Trong lăng trụ $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, $B{B}^{\prime }\not\subset$ mặt phẳng đó nên $B{B}^{\prime }\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$. Đúng.
b) Hai mặt đáy của lăng trụ song song nên $(ABC)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. Đúng.
c) $\overrightarrow{IG}=\frac{\mathbf{v}-\mathbf{b}}{3}$, đường thẳng $IG$: $(1/3-t/3,1/3,t/3)$. Mặt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ đi qua $B(1,0,0)$, $C(0,1,0)$ và chứa phương $\mathbf{v}$ nên có phương trình $x+y=1$. Giải $2/3-t/3=1\Rightarrow t=-1$, giao điểm $(2/3,1/3,-1/3)$ tồn tại nên $IG$ cắt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Đúng.
d) $(IKG)$ có hai vectơ chỉ phương $\mathbf{v}$ và $\mathbf{v}-\mathbf{b}$; $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ chứa $\mathbf{v}$ và $\mathbf{c}-\mathbf{b}$. Nếu song song thì $\mathbf{v}-\mathbf{b}$ phải cùng phương với mặt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, tức $\mathbf{v}-\mathbf{b}=\alpha \mathbf{v}+\beta (\mathbf{c}-\mathbf{b})$; so sánh hệ số theo $\mathbf{c}$ cho $\beta =0$, mâu thuẫn với hệ số theo $\mathbf{b}$ ($-1=-\beta$). Vậy hai mặt phẳng cắt nhau, không song song. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ với $C{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $B{B}^{\prime }\not\subset$ mặt phẳng nên $B{B}^{\prime }\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt đáy của lăng trụ song song với nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $I=(1/3,1/3,0)$, $G=(0,1/3,1/3)$, đường $IG$: $(1/3-t/3,1/3,t/3)$; mặt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$: $x+y=1$; giải được $t=-1$ nên $IG$ cắt mặt phẳng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(IKG)$ là $\mathbf{b}\times \mathbf{v}$, của $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là $\mathbf{v}\times (\mathbf{c}-\mathbf{b})$; hai vectơ này không cùng phương nên hai mặt phẳng không song song (chúng cắt nhau).