Tìm số nghiệm của phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ trên $[-\pi ;5\pi ]$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ trên $[-\pi ;5\pi ]$.

Ta có $\sin t=\frac{1}{2}\iff t=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $t=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff 2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$.
Điều kiện $-\pi \le -\frac{\pi }{12}+k\pi \le 5\pi \iff -\frac{11}{12}\le k\le \frac{61}{12}$, nên $k\in \{0;1;2;3;4;5\}$: được $6$ nghiệm.

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.
Điều kiện $-\pi \le \frac{\pi }{4}+k\pi \le 5\pi \iff -\frac{5}{4}\le k\le \frac{19}{4}$, nên $k\in \{-1;0;1;2;3;4\}$: được $6$ nghiệm.

Hai họ nghiệm không trùng nhau (một họ là các số $\equiv -\pi /12(\mathrm{mod}\pi )$, họ kia $\equiv \pi /4(\mathrm{mod}\pi )$).

Vậy tổng số nghiệm trên $[-\pi ;5\pi ]$ là $6+6=12$, khớp với đáp án nguồn.