Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)+{\log }_2(15-2x)\ge 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1>0$ và $15-2x>0$ nên $1<x<\frac{15}{2}=7,5$.

Ta có ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)=-{\log }_2(x-1)$, nên bất phương trình trở thành
$${\log }_2(15-2x)-{\log }_2(x-1)\ge 0⟺{\log }_2\frac{15-2x}{x-1}\ge 0.$$

Vì $\frac{15-2x}{x-1}>0$ (đã thỏa điều kiện), bất phương trình tương đương
$$\frac{15-2x}{x-1}\ge 1⟺15-2x\ge x-1⟺16\ge 3x⟺x\le \frac{16}{3}\approx 5,33.$$

Kết hợp điều kiện $1<x<7,5$: $1<x\le \frac{16}{3}$. Các nghiệm nguyên là $x\in \{2,3,4,5\}$, tức có $4$ nghiệm nguyên. Kết quả trùng với đáp án nguồn là $4$.