Tính các giới hạn sau
1. $\underset{x\to 3}{\lim }(3x-1)$.
2. $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{2x+7}{x-1}$.
3. $\underset{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{+}}{\lim }(1-6x)$.
4. $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-x-2}{x^2-2x}$.
5. $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{3x+1}-2x}{1-x}$.
6. $\underset{x\to {\left(\frac{3}{2}\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x^2-x-3}{|2x-3|}$.
7. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^2-7x-3\right)$.
8. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x-5}{\sqrt{x^2-x+7}}$.
9. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+6x-2}+x\right)$.
10. $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{5x+1}{x-2}$.
11. $\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{1-8x}{x-5}$.
12. $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{7x+2}{x^2+2x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 16 – tính 12 giới hạn:

1) $\underset{x\to 3}{\lim }(3x-1)=3\cdot 3-1=8$.

2) Hàm liên tục tại $x=-1$: $\frac{2(-1)+7}{-1-1}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.

3) $\underset{x\to (1/2{)}^{+}}{\lim }(1-6x)=1-6\cdot \frac{1}{2}=-2$.

4) $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, $x^2-2x=x(x-2)$, nên với $x\ne 2$: $\frac{x+1}{x}\to \frac{3}{2}$.

5) Nhân liên hợp: $\frac{(\sqrt{3x+1}-2x)(\sqrt{3x+1}+2x)}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{3x+1-4x^2}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{(1-x)(4x+1)}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{4x+1}{\sqrt{3x+1}+2x}\to \frac{5}{2+2}=\frac{5}{4}$.

6) Với $x\to (3/2{)}^{-}$ thì $2x-3<0$ nên $|2x-3|=3-2x=-(2x-3)$. Tử số $2x^2-x-3=(2x-3)(x+1)$. Do đó giới hạn bằng $\frac{(2x-3)(x+1)}{-(2x-3)}=-(x+1)\to -\frac{5}{2}$.

7) $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-7x-3)=+\infty$ (số hạng bậc cao nhất $x^2$ trội).

8) Với $x\to -\infty$, $\sqrt{x^2-x+7}=|x|\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}=-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}$. Vậy $\frac{3x-5}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}}\to \frac{3}{-1}=-3$.

9) Nhân liên hợp: $\sqrt{x^2+6x-2}+x=\frac{6x-2}{\sqrt{x^2+6x-2}-x}$. Khi $x\to -\infty$: mẫu $\approx |x|-x=-x-x=-2x$, tử $\approx 6x$, nên giới hạn $=\frac{6}{-2}=-3$.

10) Khi $x\to 2^{+}$: tử $\to 11>0$, mẫu $x-2\to 0^{+}$, nên giới hạn $=+\infty$.

11) Khi $x\to 5^{-}$: tử $1-8x\to -39<0$, mẫu $x-5\to 0^{-}$, nên giới hạn $=+\infty$.

12) $x^2+2x+1=(x+1{)}^2\to 0^{+}$ khi $x\to -1$; tử $7x+2\to -5<0$, nên giới hạn $=-\infty$.