Tổng các nghiệm của phương trình ${\log }_{\sqrt{3}}(x-2)+{\log }_3(x-4{)}^2=0$ là $S=a+b\sqrt{2}$ (với $a,b$ là các số nguyên). Giá trị của biểu thức $Q=a.b$ bằng.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>2$, $x\ne 4$. Đổi cơ số: ${\log }_{\sqrt{3}}(x-2)=2{\log }_3(x-2)$ và ${\log }_3(x-4{)}^2=2{\log }_3|x-4|$. Phương trình trở thành ${\log }_3[(x-2)|x-4|]=0\Rightarrow (x-2)|x-4|=1$.
- Với $x>4$: $(x-2)(x-4)=1\Rightarrow x^2-6x+7=0\Rightarrow x=3\pm \sqrt{2}$, chỉ nhận $x=3+\sqrt{2}$.
- Với $2<x<4$: $(x-2)(4-x)=1\Rightarrow -x^2+6x-9=0\Rightarrow (x-3{)}^2=0\Rightarrow x=3$ (thỏa).
Tổng $S=3+(3+\sqrt{2})=6+\sqrt{2}$, vậy $a=6,b=1\Rightarrow Q=a.b=6$, khớp đáp án nguồn.