Trên ngọn đồi có một cái tháp cao $100m$ (hình vẽ). Đỉnh tháp $B$ và chân tháp $C$ lần lượt nhìn điểm $A$ ở chân đồi dưới các góc tương ứng bằng $30^{\circ }$ và $60^{\circ }$ so với phương thẳng đứng. Tính chiều cao $AH$ của ngọn đồi

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên đường thẳng đứng qua tháp $BC$ (chân tháp $C$ nằm trên đỉnh đồi, tháp cao $BC=100m$, đồi cao $AH=h$).

Vì $B$, $C$ nhìn $A$ dưới các góc so với phương thẳng đứng lần lượt là $30^{\circ }$ và $60^{\circ }$, ta có:
- Từ chân tháp $C$: $\tan 60^{\circ }=\frac{C{H}^{\prime }}{h}$ với $C{H}^{\prime }$ là khoảng cách ngang từ trục tháp đến $A$, suy ra khoảng cách ngang $x=h\tan 60^{\circ }=h\sqrt{3}$.
- Từ đỉnh tháp $B$: $\tan 30^{\circ }=\frac{x}{h+100}$, suy ra $x=\frac{h+100}{\sqrt{3}}$.

Suy ra: $h\sqrt{3}=\frac{h+100}{\sqrt{3}}\Rightarrow 3h=h+100\Rightarrow 2h=100\Rightarrow h=50$.

Vậy chiều cao của ngọn đồi là $AH=50m$.