Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao $5m$. Từ một vị trí quan sát $A$ cao $7m$ so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh $B$ và chân $C$ của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là $50^{\circ }$ và $40^{\circ }$ so với phương nằm ngang (H.3.18).

[Hình cần kiểm tra lại: p19_f1]

a) Tính các góc của tam giác $ABC$.

b) Tính chiều cao của tòa nhà.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là điểm trên phương nằm ngang qua $A$, cùng phía với tòa nhà. Góc nâng từ $A$ tới đỉnh $B$ là $50^{\circ }$, tới chân $C$ là $40^{\circ }$.

a) Tính các góc tam giác $ABC$:
- Góc đỉnh $A$: đây là góc giữa hai tia $AB$ và $AC$, bằng hiệu hai góc nâng: $\widehat{BAC}=50^{\circ }-40^{\circ }=10^{\circ }$.
- Góc đỉnh $B$: vì $BC$ thẳng đứng, tia $BA$ tạo với phương nằm ngang góc $50^{\circ }$ nên tia $BA$ tạo với phương thẳng đứng góc $90^{\circ }-50^{\circ }=40^{\circ }$. Vậy $\widehat{ABC}=40^{\circ }$.
- Góc đỉnh $C$: $\widehat{ACB}=180^{\circ }-10^{\circ }-40^{\circ }=130^{\circ }$.

b) Tính chiều cao tòa nhà:
Đáy cột ăng-ten $C$ nằm trên nóc tòa nhà, $BC=5m$. Theo định lý sin trong tam giác $ABC$:
$$\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}\Rightarrow AC=\frac{5\cdot \sin 40^{\circ }}{\sin 10^{\circ }}\approx \frac{5\cdot 0,6428}{0,1736}\approx 18,51m.$$
Khoảng cách thẳng đứng từ $C$ xuống mặt phẳng nằm ngang qua $A$ là:
$$h_1=AC\cdot \sin 40^{\circ }\approx 18,51\cdot 0,6428\approx 11,90m.$$
Vậy chiều cao của tòa nhà (từ mặt đất đến nơi $C$, tức đến đáy cột ăng-ten) là:
$$h=7+11,90\approx 18,9m.$$

Kết luận: a) Các góc của tam giác $ABC$ là $10^{\circ }$, $40^{\circ }$, $130^{\circ }$. b) Chiều cao của tòa nhà xấp xỉ $18,9m$.