Trong hệ trục $Oxy$ đường biên của một Hòn đảo được mô hình hóa bởi hàm số: $f(x)=\frac{-x^2+10x-12}{x}(x>0)$ (đơn vị mỗi trục là 100m). Ban quản lý Hòn Đảo muốn quây một vùng tam giác an toàn để người dân có thể vui chơi và tắm biển ở khu vực đó. Đặt cờ định một điểm ngoài biển tại tọa độ $I(2;8)$ sau đó căng 2 tấm lưới bảo vệ $IA,IB$ với hai điểm $A,B\left(x_A>x_B>0\right)$ nằm trên đường biên và luôn thỏa mãn $AB\parallel Ox$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=-x+10-\frac{12}{x}$ với $x>0$.

a) $f^{\prime }(x)=-1+\frac{12}{x^2}=0\Rightarrow x=2\sqrt{3}$, $f(2\sqrt{3})=10-4\sqrt{3}$. Đỉnh cao nhất là $(2\sqrt{3};10-4\sqrt{3})$. Khoảng cách tới $I(2;8)$: $d^2=(2\sqrt{3}-2{)}^2+(2-4\sqrt{3}{)}^2=68-24\sqrt{3}\approx 26,431\Rightarrow d\approx 5,141$ đơn vị $\approx 514$ m. Đúng.

b) $f(x)=-x+10-\frac{12}{x}$ có tiệm cận đứng $x=0$, tiệm cận xiên $y=-x+10$, nên tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $M(0;10)$. Đúng.

c) Xét $d^2(x)=(x-2{)}^2+{\left(2-x-\frac{12}{x}\right)}^2$. Giải ${\left[d^2\right]}^{\prime }=0$ được $x\approx 3,127$, khi đó $d^2\approx 25,92\Rightarrow d\approx 5,091$ đơn vị $\approx 509$ m $\ne 510$ m. Sai.

d) Dây phao $AB\parallel Ox$ tại $y=t$: phương trình $-x+10-\frac{12}{x}=t\iff x^2+(t-10)x+12=0$, nên $AB=x_A-x_B=\sqrt{(t-10{)}^2-48}$. Khoảng cách từ $I(2;8)$ đến $AB$ là $8-t$. Điều kiện $8-t=\sqrt{(t-10{)}^2-48}$, bình phương: $(8-t{)}^2=(t-10{)}^2-48\Rightarrow 64-16t=t^2-20t+52\Rightarrow 4t=-12\Rightarrow t=-3$. Khi đó $AB=11$ và diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 11=60,5$ đơn vị diện tích $=605000m^2$. Đúng.

Khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại $(2\sqrt{3};10-4\sqrt{3})$, khoảng cách tới $I(2;8)$ là $\sqrt{68-24\sqrt{3}}\approx 5,141$ đơn vị $\approx 514$ m.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có TCĐ $x=0$ và TCX $y=-x+10$, tâm đối xứng $M(0;10)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách ngắn nhất từ $I$ đến đường biên đạt tại $x\approx 3,127$ với giá trị $\approx 5,091$ đơn vị $\approx 509$ m, không phải 510 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $8-t=\sqrt{(t-10{)}^2-48}$ cho $t=-3$, $AB=11$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 11=60,5$ đơn vị $=605000m^2$.