Trong khoảng $(-10;20)$ có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $4^x{\log }_3(x+1)={\log }_9[9(x+1{)}^{2m}]$ có đúng 2 nghiệm phân biệt?

Với điều kiện $x>-1$, phương trình ban đầu tương đương:
$4^x{\log }_3(x+1)=1+m{\log }_3(x+1)\iff {\log }_3(x+1)=\frac{1}{4^x-m}$.
Để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thì đồ thị hai hàm số $\{\begin{array}{l}y={\log }_3(x+1)\\ y=\frac{1}{4^x-m}\end{array}$ có 2 giao điểm.

Từ đồ thị, điều kiện có 2 giao điểm khi $\frac{m}{4}>-1\iff m>-4$.
Kết hợp với $m\in (-10;20)$ và $m\in \mathbb{Z}$ ta được $m\in \{-3;-2;\dots ;19\}$.
Số giá trị nguyên thỏa mãn là $19-(-3)+1=23$.