Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A{B}^{\prime }C$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),A^{\prime }(0;0;a),B^{\prime }(a;0;a),D^{\prime }(0;a;a),C^{\prime }(a;a;a)$.
a) $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=(0;a;0)$ còn $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\vec{C}-{\vec{B}}^{\prime }=(0;a;-a)$. Hai vectơ khác nhau nên khẳng định sai.
b) $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-a;a;a)$; $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(-a;0;0)+(0;a;0)+(0;0;a)=(-a;a;a)$. Bằng nhau nên đúng (quy tắc hình hộp).
c) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;a;a)$, $\overrightarrow{BD}=(-a;a;0)$, tích vô hướng $=-a^2+a^2+0=0$ nên đúng (hai đường chéo của hình vuông ABCD vuông góc, và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ có hình chiếu bằng $\overrightarrow{AC}$).
d) Trọng tâm $G$ của tam giác $A{B}^{\prime }C$: $G=\left(\frac{2a}{3};\frac{a}{3};\frac{a}{3}\right)$, nên $\overrightarrow{BG}=\left(-\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{a}{3}\right)$, do đó $2\overrightarrow{BG}=\left(-\frac{2a}{3};\frac{2a}{3};\frac{2a}{3}\right)\ne \overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-a;a;a)$. Khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=(0;a;0)$ còn $\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0;a;-a)$, hai vectơ không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình hộp $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(-a;a;a)$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BD}=(a;a;a)\cdot (-a;a;0)=-a^2+a^2=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{2a}{3};\frac{a}{3};\frac{a}{3}\right)$ nên $2\overrightarrow{BG}=\left(-\frac{2a}{3};\frac{2a}{3};\frac{2a}{3}\right)\ne \overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-a;a;a)$.