Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đường chéo $A{C}^{\prime }=2a\sqrt{3},(a>0)$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Cạnh hình lập phương: $A{C}^{\prime }=\text{cạnh}\cdot \sqrt{3}=2a\sqrt{3}\Rightarrow$ cạnh $=2a$.

a) Đúng: Độ dài vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ chính là độ dài đoạn $A{C}^{\prime }=2a\sqrt{3}$.

b) Đúng: Với hệ trục $O\equiv A$, $Ox\equiv AB$, $Oy\equiv AD$, $Oz\equiv A{A}^{\prime }$, ta có $C^{\prime }(2a;2a;2a)$ và $C(2a;2a;0)$. Hình chiếu vuông góc của $C^{\prime }$ lên $(Oxy)$ là điểm có cùng tọa độ $x,y$ và $z=0$, tức $(2a;2a;0)\equiv C$.

c) Sai: Tọa độ $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $A^{\prime }(0;0;2a)$. Điểm cách đều 8 đỉnh là tâm lập phương $I(a;a;a)$; $J$ tâm $A^{\prime }AB{B}^{\prime }$: $J(a;0;a)$; $K$ tâm $A^{\prime }AD{D}^{\prime }$: $K(0;a;a)$. Suy ra $\overrightarrow{IJ}=(0;-a;0)$, $\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OK}=(0;a;-a)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{IJ}\cdot \overrightarrow{KD}=0+(-a)(a)+0=-a^2\ne -\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^2$.

d) Đúng: Với $Ox\equiv AD$, $Oy\equiv AB$, $Oz\equiv A{A}^{\prime }$: $A(0;0;0)$, $B(0;2a;0)$, $C(2a;2a;0)$, $D(2a;0;0)$. Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{OM}-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})=4\overrightarrow{OM}-(4a;4a;0)$. Biểu thức này ngắn nhất khi $\overrightarrow{OM}=(a;a;2a)$ (vì $M\in (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $z_M=2a$). Khi đó $\overrightarrow{OM}-\vec{k}=(a;a;2a)-(0;0;1)=(a;a;2a-1)$.

Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 121: DDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Độ dài vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ bằng độ dài đoạn thẳng $A{C}^{\prime }=2a\sqrt{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ trục đã cho, $C^{\prime }(2a;2a;2a)$, hình chiếu lên $(Oxy)$ là $(2a;2a;0)\equiv C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $I(a;a;a)$, $J(a;0;a)$, $K(0;a;a)$: $\overrightarrow{IJ}=(0;-a;0)$, $\overrightarrow{KD}=(0;a;-a)$, nên $\overrightarrow{IJ}\cdot \overrightarrow{KD}=-a^2\ne -\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{OM}-(4a;4a;0)$ ngắn nhất khi $M(a;a;2a)$, suy ra $\overrightarrow{OM}-\vec{k}=(a;a;2a-1)$.