Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(5;2;1)$, $B(9;-2;3)$, $C(2;1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Hình chiếu của A(5;2;1) lên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ (0; 2; 1) → Đúng.
b) $\overrightarrow{AB}=(4;-4;2)$ nên $AB=\sqrt{16+16+4}=6$; $\overrightarrow{AC}=(-3;-1;0)$ nên $AC=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$. Vậy $AB+AC=6+\sqrt{10}$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\cdot (-3)+(-4)(-1)+2\cdot 0=-8$; $\cos \widehat{BAC}=\frac{-8}{6\sqrt{10}}=-\frac{2\sqrt{10}}{15}\ne \frac{2\sqrt{10}}{15}$ → Sai.
d) Với $M(m;0;0)$: $\overrightarrow{MA}=(5-m;2;1)$, $\overrightarrow{MB}=(9-m;-2;3)$, $\overrightarrow{MC}=(2-m;1;1)$.
$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=(5-m)(9-m)+2(-2)+1\cdot 3=m^2-14m+44$.
$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=(5-m)(2-m)+2\cdot 1+1\cdot 1=m^2-7m+13$ (lưu ý các tích vô hướng $2\cdot 1+1\cdot 1=+3$, không phải $-2$).
Phương trình $m^2-14m+44=m^2-7m+13\Rightarrow 7m=31\Rightarrow m=\frac{31}{7}\approx 4,43<5$ → Sai.
Kết quả khớp hoàn toàn với đáp án chính thức trang 20 (Câu 1: a Đ, b Đ, c S, d S). Lưu ý nhận xét trong dữ liệu lỗi cho rằng $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}$ phải là $(5-m)(2-m)-2$ là sai, vì $\overrightarrow{MA}=(5-m;2;1)$ và $\overrightarrow{MC}=(2-m;1;1)$ nên phần tích các thành phần $y,z$ là $2\cdot 1+1\cdot 1=3$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của A(5;2;1) lên (Oyz) là (0;2;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB = 6, AC = √10 nên AB + AC = 6 + √10.
c) (AI giải đề cho tôi)
cos BAC = -8/(6√10) = -2√10/15 ≠ 2√10/15.
d) (AI giải đề cho tôi)
MA→·MB→ = m²−14m+44; MA→·MC→ = (5−m)(2−m)+2+1 = m²−7m+13. Suy ra 7m = 31, m = 31/7 ≈ 4,43 < 5 → Sai.