Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;1;-1)$ và $B(1;3;1)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A,B$ và song song với trục $Oy$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (P) qua A(2;1;-1), B(1;3;1) và song song trục Oy nên pháp tuyến n=(a;0;c) với n·AB=0, AB=(-1;2;2) ⇒ -a+2c=0 ⇒ a=2c, chọn n=(2;0;1). Qua A: 2·2+(-1)+d=0 ⇒ d=-3, vậy (P): 2x+z-3=0.
a) Sai: đề nói 2x+z+3=0 (dấu sai).
b) Đúng: AB·n = -2+0+2 = 0 nên vectơ AB vuông góc với pháp tuyến của (P).
c) (Q) chứa trục Oy ⇒ phương trình dạng ax+cz=0 (b=d=0). Khoảng cách từ A: |2a-c|/√(a²+c²) lớn nhất bằng √5 khi (a;c) cùng phương (2;-1), tức (Q): 2x-z=0. Với dạng 2x+by+cz+d=0 thì b=0, c=-1, d=0 ⇒ b+c+d=-1≠1 ⇒ Sai.
d) d(M,(P)) = |2·(-3)+(-2)-3|/√5 = 11/√5 = 11√5/5 ⇒ Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(P) có n=(2;0;1) và qua A(2;1;-1): 2·2-1+d=0 ⇒ d=-3, nên (P): 2x+z-3=0, không phải 2x+z+3=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=(-1;2;2), n=(2;0;1), AB·n=-2+2=0 nên giá của AB vuông góc với pháp tuyến của (P).
c) (AI giải đề cho tôi)
(Q) chứa Oy nên có dạng ax+cz=0. Khoảng cách từ A: |2a-c|/√(a²+c²) lớn nhất bằng √5 khi (a;c)=(2;-1), tức (Q): 2x-z=0 ⇒ b=0, c=-1, d=0 ⇒ b+c+d=-1≠1.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(M,(P))=|2·(-3)+(-2)-3|/√5=11/√5=11√5/5.