Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=8$. Đường thẳng $d$ thay đổi, đi qua điểm $M$, cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích lớn nhất $S$ của tam giác $OAB$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính $R=2\sqrt{2}$. Ta có $OM=\sqrt{(\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2+0}=1<R$, nên điểm $M$ nằm trong mặt cầu. Gọi $h=d(O,d)\le OM=1$. Khi đó dây cung $AB=2\sqrt{R^2-h^2}=2\sqrt{8-h^2}$. Diện tích tam giác $OAB$ là $S_{△OAB}=\frac{1}{2}h\cdot AB=h\sqrt{8-h^2}=\sqrt{h^2(8-h^2)}$. Vì $h\in [0;1]$ nên hàm $f(u)=u(8-u)$ (với $u=h^2\in [0;1]$) đồng biến trên $[0;1]$. Giá trị lớn nhất đạt được khi $u=1⟹h=1$, khi đó $S_{\max }=\sqrt{1(8-1)}=\sqrt{7}$. Chọn A.