Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;-3;4)$, mặt phẳng $(P):x-2y+z-12=0$ và mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=\sqrt{5}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua $M$, nằm trong $(P)$ và cắt $(S)$ theo dây cung dài nhất?

Thay tọa độ điểm $M(2;-3;4)$ vào phương trình $(P)$: $2-2(-3)+4-12=0$ (thỏa mãn, $M\in (P)$).
Đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo dây cung có độ dài lớn nhất khi và chỉ khi $\Delta$ đi qua hình chiếu vuông góc $H$ của tâm $I$ lên $(P)$.
Đường thẳng $IH$ qua $I(1;2;3)$ có VTPT của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(1;-2;1)⟹H(1+t;2-2t;3+t)$.
$H\in (P)⟹(1+t)-2(2-2t)+(3+t)-12=0⟺6t-12=0⟺t=2⟹H(3;-2;5)$.
Khi đó $\overrightarrow{MH}=(3-2;-2-(-3);5-4)=(1;1;1)$.
Đường thẳng đi qua $H(3;-2;5)$ có VTCP $\vec{u}=(1;1;1)$ có phương trình: $\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=-2+t\\ z=5+t\end{array}$. Chọn D.