Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}$ và điểm $A(1;0;2)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;0;2)$ đồng thời cắt và vuông góc với $d$ có phương trình tham số là $\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=a+bt\\ z=c+dt\end{array}(t\in \mathbb{R})$. Tính tổng $S=a+2b+3c+4d$.

Phương trình tham số của $d:\{\begin{array}{l}x=1+t^{\prime }\\ y=t^{\prime }\\ z=-1+2t^{\prime }\end{array}$.
Gọi $B=\Delta \cap d\Rightarrow B(1+t^{\prime };t^{\prime };-1+2t^{\prime })$, suy ra $\overrightarrow{AB}=(t^{\prime };t^{\prime };-3+2t^{\prime })$.
Vì $\Delta \perp d$ nên ${\vec{u}}_d\cdot \overrightarrow{AB}=0$:
$$1\cdot t^{\prime }+1\cdot t^{\prime }+2(-3+2t^{\prime })=0\iff 6t^{\prime }-6=0\iff t^{\prime }=1$$
Suy ra $B(2;1;1)$ và $\overrightarrow{AB}=(1;1;-1)$.
Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u}=2\overrightarrow{AB}=(2;2;-2)$.
Do đó trong phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=a+bt\\ z=c+dt\end{array}$, ta có:
- Vectơ chỉ phương: $b=2,d=-2$.
- Điểm $A(1;0;2)\in \Delta \Rightarrow \{\begin{array}{l}1=3+2t\\ 0=a+bt\\ 2=c+dt\end{array}\Rightarrow t=-1\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=2\\ c=0\end{array}$.
Vậy $S=a+2b+3c+4d=2+2(2)+3(0)+4(-2)=2+4+0-8=-2$.
(Lưu ý: Bảng đáp án gốc của đề ghi 45.B tương ứng với $S=-2$; lời giải chi tiết tính ra $S=-2$ hoàn toàn trùng khớp với Option B).
Chọn đáp án B.