Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;-2;1),B(3;2;-1)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+2z-5=0$. Xét $M$ là điểm thay đổi thuộc $(\alpha )$, tìm giá trị nhỏ nhất của $P=3M{A}^2+2M{B}^2$.

Gọi điểm $I$ thỏa mãn $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\vec{0}\Rightarrow I\left(\frac{3}{5};-\frac{2}{5};\frac{1}{5}\right)$. Ta có $P=5M{I}^2+3I{A}^2+2I{B}^2=5M{I}^2+\frac{216}{5}$. $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất $\iff MI=d(I,(\alpha ))=\frac{|3/5+4/5+2/5-5|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{16}{15}$. Do đó $P_{\min }=5{\left(\frac{16}{15}\right)}^2+\frac{216}{5}=\frac{256}{45}+\frac{1944}{45}=\frac{2200}{45}=\frac{440}{9}$. (Trong bảng đáp án mã đề gốc ghi B, nhưng bài toán tính đúng cho kết quả $\frac{440}{9}$, tương ứng phương án A được đính chính trong lời giải). Chọn A.