Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;0;10)$ và $B\left(3;4;\frac{19}{2}\right)$. Xét các điểm $M$ thay đổi sao cho tam giác $OAM$ không phải là tam giác nhọn và có diện tích bằng $20$. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MB$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Ta có $OA=10$ và $S_{△OAM}=\frac{1}{2}OA\cdot d(M,OA)=20\Rightarrow d(M,OA)=4$, nên $M$ thuộc mặt trụ trục $OA$ ($Oz$), bán kính $R=4$.

Do $B\left(3;4;\frac{19}{2}\right)$ cách trục $Oz$ một khoảng bằng $\sqrt{3^2+4^2}=5$, xét trong mặt phẳng chứa $Oz$ và $B$:



- **TH1:** $\widehat{AMO}\ge 90^{\circ }\Rightarrow M$ thuộc đoạn $EF$ ($2\le z_M\le 8$), khi đó $B{M}_{\min }=BF=\frac{\sqrt{13}}{2}$.
- **TH2:** $\widehat{MAO}\ge 90^{\circ }\Rightarrow M$ thuộc tia $CD$ ($z_M\ge 10$), khi đó $B{M}_{\min }=BC=\sqrt{(5-4{)}^2+{\left(10-\frac{19}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.
- **TH3:** $\widehat{MOA}\ge 90^{\circ }\Rightarrow M$ thuộc tia $GH$ ($z_M\le 0$), khi đó $B{M}_{\min }=BG=\frac{\sqrt{365}}{2}$.

So sánh ba trường hợp ta có $B{M}_{\min }=\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1,118\in \left(0;\frac{3}{2}\right)$.