Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-1;1),B(-3;1;1)$ và mặt phẳng $(P):x-y+2z=0$. Xét $M$ là điểm thay đổi thuộc $(P)$, giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$ bằng

Xét biểu thức $f(x,y,z)=x-y+2z$. Ta có $f(A)=1-(-1)+2(1)=4>0$ và $f(B)=-3-1+2(1)=-2<0$. Vì $f(A)\cdot f(B)<0$ nên hai điểm $A$ và $B$ nằm về hai phía khác nhau so với mặt phẳng $(P)$. Do đó với mọi điểm $M\in (P)$, ta luôn có $MA+MB\ge AB$, dấu đẳng thức xảy ra khi $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $AB$ với mặt phẳng $(P)$. Khi đó giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$ bằng độ dài đoạn thẳng $AB$: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3-1{)}^2+(1-(-1){)}^2+(1-1{)}^2}=\sqrt{(-4{)}^2+2^2+0^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Chọn A.