Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;1)$, $B(2;-1;3)$. Tìm điểm $M$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $M{A}^2-2M{B}^2$ lớn nhất.

Chọn D.
Gọi điểm $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\vec{0}⟺\overrightarrow{OI}=2\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$.
Tọa độ $I$: $x_I=2(2)-1=3$, $y_I=2(-1)-2=-4$, $z_I=2(3)-1=5⟹I(3;-4;5)$.
Khi đó:
$M{A}^2-2M{B}^2=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}{)}^2-2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}{)}^2=-M{I}^2+I{A}^2-2I{B}^2.$
Biểu thức lớn nhất khi $M{I}^2$ nhỏ nhất, tức là $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$.
Do đó $M(3;-4;0)$.