Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(4;-2;4)$, $B(-2;6;4)$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=5\\ y=-1\\ z=t\end{array}$. Gọi $M$ là điểm di động thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ và $N$ là điểm di động thuộc $d$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MN$?

Trung điểm của đoạn $AB$ là $I(1;2;4)$ và $AB=\sqrt{(-6{)}^2+8^2+0^2}=10$. Vì $\widehat{AMB}=90^{\circ }$, điểm $M$ thuộc mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I(1;2;4)$, bán kính $R=5$. Mặt khác $M\in (Oxy)$, giao tuyến của mặt cầu và $(Oxy)$ là đường tròn có tâm là hình chiếu của $I$ lên $(Oxy)$, tức $I_0(1;2;0)$, và bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2(I,Oxy)}=\sqrt{5^2-4^2}=3$. Đường thẳng $d$ vuông góc với $(Oxy)$ tại điểm $H(5;-1;0)$. Khoảng cách $I_{0}H=\sqrt{(5-1{)}^2+(-1-2{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$. Vì $N\in d$, khoảng cách $MN$ nhỏ nhất khi $N\equiv H$ và $M$ nằm trên đoạn $I_{0}H$. Khi đó $M{N}_{\min }=I_{0}H-r=5-3=2$. Chọn B.