Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+5{)}^2=12$ và điểm $A(0;1;-3)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$, cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là $ax+by+cz+14=0$ ($a,b,c\in \mathbb{Z}$). Giá trị của biểu thức $M=a-b+c$ bằng

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;-5)$ và bán kính $R=2\sqrt{3}$.
Ta có $\overrightarrow{IA}=(1;-1;2)\Rightarrow IA=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{6}<R$, do đó điểm $A$ nằm trong mặt cầu.
Mặt phẳng $(P)$ qua $A$ cắt $(S)$ theo thiết diện là đường tròn có bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2(I,(P))}$. Bán kính $r$ nhỏ nhất khi $d(I,(P))$ lớn nhất, điều này xảy ra khi $(P)\perp IA$ tại $A$.
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=\overrightarrow{IA}=(1;-1;2)$.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(0;1;-3)$:
$1(x-0)-1(y-1)+2(z+3)=0\iff x-y+2z+7=0$.
Nhân cả hai vế với 2 để được hệ số tự do là $+14$:
$2x-2y+4z+14=0$.
Đối chiếu với $ax+by+cz+14=0$, ta có $a=2,b=-2,c=4$.
Vậy $M=a-b+c=2-(-2)+4=8$. Chọn C.