Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+(y-1{)}^2+(z+1{)}^2=1$ và đường thẳng $d$ có phương trình $x-2=y=-z$. Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ chứa $d$, tiếp xúc với $(S)$ tại $T$ và $T^{\prime }$. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $T{T}^{\prime }$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;1;-1)$, bán kính $R=1$.
Đường thẳng $d$ đi qua $A(2;0;0)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1;-1)$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của tâm $I$ lên đường thẳng $d$.
Khi đó đoạn thẳng $T{T}^{\prime }$ vuông góc với mặt phẳng chứa $I$ và $d$, và trung điểm $K$ của $T{T}^{\prime }$ chính là hình chiếu của $H$ lên đoạn nối tâm với dây tiếp điểm.
Bằng phương pháp tọa độ, ta tìm được tọa độ trung điểm $K\left(\frac{1}{3};\frac{5}{6};-\frac{5}{6}\right)$.