Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$ (với $abc>0$) đi qua hai điểm $A(1;0;0),B(0;1;0)$. Biết $d(O,(P))=\frac{2}{3}$ và điểm $C(-3;1;0)$. Tính $d(C,(P))$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1;0;0)$ và $B(0;1;0)$, gọi giao điểm của $(P)$ với $Oz$ là $D(0;0;c_0)$.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ theo đoạn chắn: $\frac{x}{1}+\frac{y}{1}+\frac{z}{c_0}=1\iff x+y+\frac{1}{c_0}z-1=0$.
Khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ là:
$d(O,(P))=\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+\frac{1}{c_0^2}}}=\frac{2}{3}\iff 1+1+\frac{1}{c_0^2}=\frac{9}{4}\iff \frac{1}{c_0^2}=\frac{1}{4}⟹\frac{1}{c_0}=\pm \frac{1}{2}$.
Vì $abc>0$ nên $\frac{1}{c_0}=\frac{1}{2}$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $x+y+\frac{1}{2}z-1=0\iff 2x+2y+z-2=0$.
Khoảng cách từ $C(-3;1;0)$ đến $(P)$ là:
$d(C,(P))=\frac{|2(-3)+2(1)+0-2|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{|-6|}{\sqrt{9}}=\frac{6}{3}=2$.