Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ chứa điểm $M(1;1;2)$; cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A$, $B$, $C$ sao cho $\frac{OA}{1}=\frac{OB}{2}=\frac{OC}{4}$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$.

Mặt phẳng $(P)$ cắt tia Ox tại $A(a;0;0)$, cắt tia Oy tại $B(0;b;0)$, cắt tia Oz tại $C(0;0;c)$ có dạng là $(P):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ (với $a>0$, $b>0$, $c>0$). Theo đề: $$\frac{OA}{1}=\frac{OB}{2}=\frac{OC}{4}\iff \frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{4}\iff \{\begin{array}{l}b=2a\\ c=4a\end{array}.$$ Vì $M(1;1;2)$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ nên ta có: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}=1$$ $$\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{2a}+\frac{2}{4a}=1\iff a=2.$$ Khi đó $b=4$, $c=8$ nên phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{8}=1.$$