Trong không gian $Oxyz$, có mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+18x-4y-6z-6=0$ và hai điểm $A(16;2;3),B(-13;14;-13)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm trên mặt cầu $(S)$ sao cho biểu thức $P=2\cdot MA+5\cdot MB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị $T=a+b+c$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-9;2;3)$ và bán kính $R=10$. Ta có $\overrightarrow{IA}=(25;0;0)⟹IA=25$. Chọn điểm $A^{\prime }$ thuộc đoạn $IA$ sao cho $I{A}^{\prime }=\frac{R^2}{IA}=4⟹\overrightarrow{I{A}^{\prime }}=\frac{4}{25}\overrightarrow{IA}=(4;0;0)⟹A^{\prime }(-5;2;3)$. Với mọi $M\in (S)$, hai tam giác $IM{A}^{\prime }$ và $AIM$ đồng dạng vì $\frac{I{A}^{\prime }}{IM}=\frac{IM}{IA}=\frac{2}{5}$ và $\widehat{MI{A}^{\prime }}=\widehat{AIM}$, suy ra $M{A}^{\prime }=\frac{2}{5}MA⟺2MA=5M{A}^{\prime }$. Khi đó $P=5(M{A}^{\prime }+MB)\ge 5A^{\prime }B$ (do $A^{\prime }$ nằm trong và $B$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$). Dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $A^{\prime }B$ với $(S)$. Đường thẳng $A^{\prime }B$ qua $A^{\prime }(-5;2;3)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-2;3;-4)$: $M(-5-2t;2+3t;3-4t)$ với $t>0$. Thay vào $(S)$: $(4-2t{)}^2+9t^2+16t^2=100⟺29t^2-16t-84=0⟹t=2⟹M(-9;8;-5)$. Vậy $T=-9+8-5=-6$. Chọn đáp án B.