Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(\alpha ):ax+by+cz+5=0$ đi qua $A(1;2;1)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(P):x+y-z+1=0$ và $(Q):2x+y+z-3=0$. Tính giá trị $a+b+c$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của (α) vuông góc với cả n_P=(1;1;-1) và n_Q=(2;1;1), nên n = n_P × n_Q = (1·1-(-1)·1; (-1)·2-1·1; 1·1-1·2) = (2;-3;-1). Vậy a:b:c = 2:-3:-1. Mặt phẳng đi qua A(1;2;1): 2·1 - 3·2 - 1·1 + d = 0 ⇒ d = 5, khớp với hệ số tự do 5 đã cho. Do đó a+b+c = 2 + (-3) + (-1) = -2, trùng với đáp án nguồn.