Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;0)$, $B(5;6;0)$ và $M$ là điểm thay đổi trên mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=1$. Tập hợp các điểm $M$ trên mặt cầu $(S)$ thỏa mãn $3M{A}^2+M{B}^2=48$ có bao nhiêu phần tử?

Chọn B.
Gọi điểm $K$ thỏa mãn $3\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=\vec{0}⟺\overrightarrow{OK}=\frac{3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{4}$.
Ta có $\overrightarrow{OA}=(1;0;0)$ và $\overrightarrow{OB}=(5;6;0)$, suy ra:
$x_K=\frac{3(1)+5}{4}=2$, $y_K=\frac{3(0)+6}{4}=\frac{3}{2}$, $z_K=0\Rightarrow K\left(2;\frac{3}{2};0\right)$.
Ta biến đổi biểu thức:
$3M{A}^2+M{B}^2=3|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}{|}^2+|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KB}{|}^2$
$=4M{K}^2+3K{A}^2+K{B}^2+2\overrightarrow{MK}\cdot (3\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB})$
$=4M{K}^2+3K{A}^2+K{B}^2$.
Tính độ dài $KA$ và $KB$:
$K{A}^2=(1-2{)}^2+{\left(0-\frac{3}{2}\right)}^2+0^2=1+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}$,
$K{B}^2=(5-2{)}^2+{\left(6-\frac{3}{2}\right)}^2+0^2=9+\frac{81}{4}=\frac{117}{4}$.
Do đó $3K{A}^2+K{B}^2=3\cdot \frac{13}{4}+\frac{117}{4}=\frac{39+117}{4}=39$.
Theo đề bài: $3M{A}^2+M{B}^2=48⟺4M{K}^2+39=48⟺4M{K}^2=9⟺MK=\frac{3}{2}$.
Vậy điểm $M$ thuộc mặt cầu $(S_1)$ tâm $K\left(2;\frac{3}{2};0\right)$ bán kính $R_1=\frac{3}{2}$.
Mặt khác, $M$ thuộc mặt cầu $(S)$ tâm $O(0;0;0)$ bán kính $R=1$.
Khoảng cách giữa hai tâm:
$OK=\sqrt{2^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+0^2}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$.
Ta nhận thấy $R+R_1=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}=OK$.
Do khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng hai bán kính, hai mặt cầu $(S)$ và $(S_1)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại đúng một điểm duy nhất.
Vậy có đúng 1 điểm $M$ thỏa mãn.