Trong không gian tọa độ $Oxyz$, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$ và ${\Delta }_2:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$.

Đường thẳng ${\Delta }_1$ đi qua $M(1;-1;0)$ có VTCP ${\vec{u}}_1=(2;2;3)$.
Đường thẳng ${\Delta }_2$ đi qua $N(3;3;-2)$ có VTCP ${\vec{u}}_2=(-1;-2;1)$.
Ta có $\frac{2}{-1}\ne \frac{2}{-2}$ nên ${\vec{u}}_1$ và ${\vec{u}}_2$ không cùng phương.
Xét vectơ $\overrightarrow{MN}=(2;4;-2)$.
Tích có hướng $[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]=(2(1)-3(-2);3(-1)-2(1);2(-2)-2(-1))=(8;-5;-2)$.
Tích hỗn tạp: $[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]\cdot \overrightarrow{MN}=8(2)+(-5)(4)+(-2)(-2)=16-20+4=0$.
Suy ra hai đường thẳng đồng phẳng. Vì chúng không cùng phương nên ${\Delta }_1$ cắt ${\Delta }_2$.