Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec{a}=(-3;2;1)$, $\vec{b}=(2;3;5)$, $\vec{c}=(4;-1;4)$, $\vec{d}=(2;15;27)$. Biết $\vec{d}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$, khi đó giá trị của $x+y+z$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải hệ: $\vec{d}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$ cho hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}-3x+2y+4z=2\\ 2x+3y-z=15\\ x+5y+4z=27\end{array}$$ Từ phương trình thứ hai: $z=2x+3y-15$. Thay vào phương trình thứ nhất: $-3x+2y+4(2x+3y-15)=2\iff 5x+14y=62$. Thay vào phương trình thứ ba: $x+5y+4(2x+3y-15)=27\iff 9x+17y=87$. Giải hệ $\{\begin{array}{l}5x+14y=62\\ 9x+17y=87\end{array}$: nhân phương trình thứ nhất với 9 và thứ hai với 5, trừ nhau được $41y=123\Rightarrow y=3$; suy ra $x=(62-42)/5=4$ và $z=2(4)+3(3)-15=2$. Kiểm tra: $-3(4)+2(3)+4(2)=-12+6+8=2$ ✓; $2(4)+3(3)-2=15$ ✓; $4+15+8=27$ ✓. Vậy $x+y+z=4+3+2=9$, khớp với đáp án nguồn.