Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(1;1;2)$ và $B(2;3;4)$. Giả sử điểm $M(a;b;0)$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho tổng khoảng cách $MA+MB$ ngắn nhất. Tính $T=a+b$.

Hai điểm $A(1;1;2)$ và $B(2;3;4)$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng $(Oxy):z=0$. Gọi $A^{\prime }(1;1;-2)$ là điểm đối xứng của $A$ qua mặt phẳng $(Oxy)$. Khi đó $MA+MB=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B$, dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $A^{\prime }B$ với mặt phẳng $(Oxy)$. Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(1;2;6)$, điểm $M(a;b;0)$ thỏa mãn $\overrightarrow{A^{\prime }M}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A^{\prime }B}\Rightarrow a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3},b=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$. Vậy $T=a+b=\frac{4}{3}+\frac{5}{3}=3$.