Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(-3;0;1),B(1;-1;3)$ và mặt phẳng $(P):x-2y+2z-5=0$. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ đi qua $A$, song song với mặt phẳng $(P)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $d$ nhỏ nhất.

Chọn D.
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(4;-1;2)$, vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(1;-2;2)$.
Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $(P)$ nên vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d\perp {\vec{n}}_P$.
Khoảng cách từ $B$ đến $d$ nhỏ nhất khi hình chiếu của $B$ lên $d$ gần $B$ nhất, tức ${\vec{u}}_d$ cùng phương với hình chiếu của $\overrightarrow{AB}$ lên mặt phẳng song song với $(P)$, tức ${\vec{u}}_d=[{\vec{n}}_P,[\overrightarrow{AB},{\vec{n}}_P]]$.
Ta có $[\overrightarrow{AB},{\vec{n}}_P]=(2;-6;-7)$.
$[{\vec{n}}_P,(2;-6;-7)]=(14-(-12);4-(-7);-6-(-4))=(26;11;-2)\sim (-26;11;-2)$ (theo đáp án D).
Vậy phương trình chính tắc của $d$ là $\frac{x+3}{-26}=\frac{y}{11}=\frac{z-1}{-2}$.