Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh có 105 em dự thi, có 10 em tham gia buổi gặp mặt trước kỳ thi. Biết các em đó có số thứ tự trong danh sách lập thành một cấp số cộng. Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, mỗi dãy có năm ghế và mỗi ghế chỉ ngồi được một học sinh. Tính xác suất để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau.

Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Trên đường thẳng $a$ lấy 6 điểm phân biệt; trên đường thẳng $b$ lấy 5 điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm trong các điểm đã cho trên hai đường thẳng $a$ và $b$. Tính xác suất để 3 điểm được chọn tạo thành một tam giác.

Câu 2: Cho tập hợp $S=\{1;2;3;\dots ;15\}$. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 số phân biệt từ tập $S$ và sắp xếp chúng thành một dãy $(a_1;a_2;a_3;a_4;a_5;a_6)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
- Biểu thức ${\log }_3(a_1)+{\log }_3(a_2)+{\log }_3(a_3)$ là một số nguyên.
- $a_1+a_6=a_2+a_5=a_3+a_4$.

Câu 3: Năm 2016, trong chiến dịch mang tên “Niềm tự hào cuối cùng của loài người”, kỳ thủ cờ vây số một thế giới Lee Sedol đã có trận đấu lịch sử với trí tuệ nhân tạo AlphaGo. Một trò chơi mô phỏng trận đấu này có luật như sau: Điểm khởi đầu của kỳ thủ là 2. Trong mỗi ván đấu, nếu thắng kỳ thủ được cộng 1 điểm, nếu hòa điểm số không thay đổi, nếu thua bị trừ 1 điểm. Trận đấu kết thúc ngay khi kỳ thủ đạt 3 điểm (giành chiến thắng) hoặc 0 điểm (thất bại). Giả sử xác suất mỗi ván thắng, hòa, thua của kỳ thủ lần lượt là $\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2}$ và kết quả các ván đấu là độc lập với nhau. Xác suất để trận đấu kết thúc sau đúng 6 ván và kỳ thủ là người giành chiến thắng là $p$. Tính $4096p$.

Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2=3$ và $u_6=-7$. Giá trị của $u_4$ bằng

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc đoạn $[20;50]$. Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là

Cho đa giác đều $32$ cạnh. Gọi $S$ là tập hợp các tứ giác tạo thành có $4$ đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của $S$. Xác suất để chọn được một hình chữ nhật là