Trong mặt phẳng $Oxy$, cho ba điểm $A(1;2),B(2;3),C(-3;-1)$. Điểm $M(0;y)$ sao cho $|\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+5\overrightarrow{MC}|$ nhỏ nhất. Khi đó

Chọn A.
Gọi điểm $I(x_0;y_0)$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC}=\vec{0}$. Khi đó:
$x_0=\frac{1-3(2)+5(-3)}{1-3+5}=\frac{-20}{3},y_0=\frac{2-3(3)+5(-1)}{1-3+5}=\frac{-12}{3}=-4.$
Với mọi điểm $M$, ta có:
$\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+5\overrightarrow{MC}=(1-3+5)\overrightarrow{MI}+(\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC})=3\overrightarrow{MI}.$
Do đó $|\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+5\overrightarrow{MC}|=3MI$.
Vì $M\in Oy$ nên $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên trục tung $Oy$.
Suy ra $M(0;-4)$, tức là $y=-4$.
Thay $y=-4$ vào các phương án, ta có $(-4{)}^2+4(-4)=16-16=0$.
Vậy $y^2+4y=0$.