Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4;1), B(2; 4), C(2; -2).

a. Tìm tọa độ vec tơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AC}$, chu vi tam giác ABC, tìm góc A của tam giác ABC.

b. Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC, Toạ độ trung điểm đoạn thẳng AB.

c. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $A(-4;1)$, $B(2;4)$, $C(2;-2)$.

**a) Tọa độ các vectơ, chu vi, góc A:**
- $\overrightarrow{AB}=(2-(-4);4-1)=(6;3)$
- $\overrightarrow{BC}=(2-2;-2-4)=(0;-6)$
- $\overrightarrow{AC}=(2-(-4);-2-1)=(6;-3)$

Độ dài: $AB=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$; $BC=6$; $AC=\sqrt{6^2+(-3{)}^2}=3\sqrt{5}$.

Chu vi tam giác ABC: $P=3\sqrt{5}+6+3\sqrt{5}=6\sqrt{5}+6$.

$\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|AB|\cdot |AC|}=\frac{6\cdot 6+3\cdot (-3)}{3\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{5}}=\frac{36-9}{45}=\frac{3}{5}$.

Vậy $A=\arccos \frac{3}{5}\approx 53^{\circ }{8}^{\prime }$.

**b) Trọng tâm và trung điểm:**
- Trọng tâm $G=\left(\frac{-4+2+2}{3};\frac{1+4-2}{3}\right)=(0;1)$.
- Trung điểm đoạn AB: $\left(\frac{-4+2}{2};\frac{1+4}{2}\right)=\left(-1;\frac{5}{2}\right)$.

**c) Trực tâm H:**
Vì $B$ và $C$ có cùng hoành độ 2 nên $BC$ là đường thẳng đứng $x=2$, do đó đường cao xuất phát từ $A$ vuông góc với $BC$ là đường ngang $y=1$.

Vectơ $\overrightarrow{AC}=(6;-3)$ có hệ số góc của $AC$ là $-\frac{1}{2}$, nên đường cao xuất phát từ $B$ vuông góc với $AC$ có hệ số góc $2$: $y-4=2(x-2)\iff y=2x$.

Giao với $y=1$: $x=\frac{1}{2}$. Vậy $H=\left(\frac{1}{2};1\right)$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{AH}=\left(\frac{9}{2};0\right)$ vuông góc $\overrightarrow{BC}=(0;-6)$ ✓; $\overrightarrow{BH}=\left(-\frac{3}{2};-3\right)$, $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{3}{2}\cdot 6+(-3)(-3)=-9+9=0$ ✓.