Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;2), B(-4;3). Gọi M(t;0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}$ theo t.

b) Tìm t để $\widehat{AMB}=90^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $A(1;2)$, $B(-4;3)$, $M(t;0)$ ta có:
$$\overrightarrow{AM}=(t-1;0-2)=(t-1;-2),\overrightarrow{BM}=(t+4;0-3)=(t+4;-3).$$

a) Tích vô hướng:
$$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}=(t-1)(t+4)+(-2)(-3)=t^2+3t-4+6=t^2+3t+2.$$

b) $\widehat{AMB}=90^0\iff \overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{BM}\iff \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}=0$
$$\iff t^2+3t+2=0\iff (t+1)(t+2)=0\iff t=-1\text{ hoặc }t=-2.$$

Vậy với $t=-1$ (khi đó $M(-1;0)$) hoặc $t=-2$ (khi đó $M(-2;0)$) thì góc $AMB$ bằng $90^0$. Kiểm tra: với $t=-1$: $\overrightarrow{AM}=(-2;-2)$, $\overrightarrow{BM}=(3;-3)$, tích vô hướng $=-6+6=0$; với $t=-2$: $\overrightarrow{AM}=(-3;-2)$, $\overrightarrow{BM}=(2;-3)$, tích vô hướng $=-6+6=0$. Đúng.