Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left(\sqrt{6};2\right),B\left(\sqrt{2};6\right)$ và đường thẳng $\Delta :x+y-2=0$. Tìm điểm $K$ trên $\Delta$ sao cho $AK+BK$ nhỏ nhất.

Cách 1:

Vì $K\in \Delta :y=2-x$ nên $K(x;2-x)$.

Ta có $\overrightarrow{AK}=\left(x-\sqrt{6};-x\right)$ và $\overrightarrow{BK}=\left(x-\sqrt{2};-x-4\right)$

$AK=\sqrt{{\left(x-\sqrt{6}\right)}^2+x^2}=\sqrt{2x^2-2\sqrt{6}x+6}$

$BK=\sqrt{{\left(\sqrt{2}-x\right)}^2+(-x-4{)}^2}=\sqrt{2x^2+\left(8-2\sqrt{2}\right)x+18}$

Xét hàm số $f(x)=AK+BK=\sqrt{2x^2-2\sqrt{6}x+6}+\sqrt{2x^2+\left(8-2\sqrt{2}\right)x+18}$ với $x\le \sqrt{6}$.

Dùng lệnh Table dò tìm ta được $f_{\min }\approx 6,602720496$ tại $x\approx 0,4405\Rightarrow y\approx 1,5595$.

Vậy điểm $K\left(0,4405;1,5595\right)$.

Cách 2:

Dễ thấy hai điểm $A,B$ nằm cùng phía với $\Delta$.
Gọi $B^{\prime }$ là điểm đối xứng với $B$ qua $\Delta$.
Khi đó $AK+BK=AK+B^{\prime }K$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $A,K,B^{\prime }$ thẳng hàng và ${\left(AK+BK\right)}_{\min }=A{B}^{\prime }$.

+ Tìm tọa độ điểm $B^{\prime }(a;b)$.

Tọa độ $(a;b)$ của $B^{\prime }$ thỏa mãn hệ phương trình $\{\begin{array}{l}\left(a-\sqrt{2}\right).1-(b-6).1=0\\ \frac{a+\sqrt{2}}{2}+\frac{b+6}{2}-2=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}a-b=\sqrt{2}-6\\ a+b=-2-\sqrt{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-4\\ b=2-\sqrt{2}\end{array}\to B^{\prime }\left(-4;2-\sqrt{2}\right)$.

+ Phương trình đường thẳng $A{B}^{\prime }$: $\sqrt{2}\left(x-\sqrt{6}\right)-\left(4+\sqrt{6}\right)(y-2)=0$

$\iff \sqrt{2}x-\left(4+\sqrt{6}\right)y-2\sqrt{3}+2\sqrt{6}+8=0$.

+ Tọa độ điểm $K$.
Ta có $K=A{B}^{\prime }\cap \Delta$ nên tọa độ điểm $K$ là nghiệm của hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}x+y=2\\ \sqrt{2}x-\left(4+\sqrt{6}\right)y=2\sqrt{3}-2\sqrt{6}-8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=0,\mathrm{440517...}\\ y=1,\mathrm{559482...}\end{array}$

Vậy điểm $K\left(0,4405;1,5595\right)$.